Question

设F₁，F₂是双曲线的两个焦点．若此双曲线上存在点P满足|PF₁|=3|PF₂|，则该双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），由于双曲线上存在点P满足|PF₁|=3|PF₂|，则P在右支上，且|PF₂|≥c-a，再由双曲线的定义，结合条件，可得|PF₂|=a，再由离心率公式，即可求得范围．

解答： 解：可设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），
则F₁（-c，0），F₂（c，0），
由于双曲线上存在点P满足|PF₁|=3|PF₂|，
则P在右支上，且|PF₂|≥c-a，
由双曲线的定义可知|PF₁|-|PF₂|=2a，
即有|PF₂|=a，由a≥c-a，即有

c

a

≤2，
则1＜e≤2．
则离心率的范围是（1，2]．
故答案为：（1，2]

点评：本题考查双曲线方程、定义和性质，考查离心率公式的运用和范围，考查运算能力，属于中档题．