Question

16．已知函数$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$与g（x）=cosx+log₂（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（　　）

• A． $（-∞，-\sqrt{2}）$
• B． $（-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• C． $（-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• D． $（-∞，\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 根据题意分析可得若函数$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$与g（x）=cosx+log₂（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则转化为函数f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g′（x）=log₂（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，结合函数图象和图象平移的性质，分析得到答案．

解答 解：由题意可得：函数$f（x）=cosx+{2^x}-\frac{1}{2}（x＜0）$
与g（x）=cosx+log₂（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，
则转化为函数f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）与g′（x）=log₂（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，
f₁（x）=2^x-$\frac{1}{2}$（x＜0）只需将y=2^x的图象向下平移$\frac{1}{2}$，
g₁（x）=log₂（x+a）需要将y=log₂x的图象向左或右平移|a|，
分析可得，a＜$\sqrt{2}$，
故a的取值范围是（-∞，$\sqrt{2}$），
故选D．

点评 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大．