Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）最小正周期为$\frac{π}{2}$，最大值为4，最小值为0，图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{3}$
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）由题意得A+m=4，A-m=0，求出A、m的值，根据周期求出ω，
根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式；
（2）根据正弦型函数的图象与性质，即可求出f（x）的单调增和减区间．

解答 解：（1）由题意得A+m=4，A-m=0，
解得 A=2，m=2；．
再由f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=4，
∴函数f（x）=2sin（4x+φ）+2．
再由 x=$\frac{π}{3}$是其图象的一条对称轴，
可得 4×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴函数f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+2；
（2）∵函数f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）+2，
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z；
同理，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调减区间是[$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{π}{3}$+$\frac{kπ}{2}$]，k∈Z．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．