题目内容
6．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a为正常数）．现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本（10+2t）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+$\frac{20}{t}$）万元/万件．（I）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（II）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．
分析 （Ⅰ）确定该产品售价为（4+$\frac{20}{t}$）万元，y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x，销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$，代入化简得该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）分类讨论，利用基本不等式及函数的单调性，可求厂家的利润最大．
解答 解：（Ⅰ）由题意知，利润y=t×（4+$\frac{20}{t}$）-（10+2t）-x
由销售量t万件满足t=5-$\frac{9}{2（x+1）}$（其中0≤x≤a，a为正常数）．
代入化简可得：y=20-（$\frac{9}{x+1}$+x），（0≤x≤a，a为正常数）
（Ⅱ）y=21-（$\frac{9}{x+1}$+x+1）≤21-6=15，
当且仅当$\frac{9}{x+1}$=x+1，即x=2时，上式取等号．
当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜2时，y在0≤x≤a上单调递增，
x=a，函数有最大值．促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．
综上述，当a≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；
当0＜a＜2时，促销费用投入x=a万元时，厂家的利润最大．
点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查基本不等式的运用，确定函数解析式是关键．
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