Question

9．已知{a_n}是斐波那契数列，满足a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．{a_n}中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{b_n}，则b₂₀₁₅=1．

Answer 1

分析 a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．由{a_n}中各项按顺序排列可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．{a_n}中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{b_n}，分别为：1，1，2，3，1，0，1，2，3，1，0，1，…，可得其周期，即可得出．

解答 解：a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N*）．
∴{a_n}中各项按顺序排列可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，
{a_n}中各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{b_n}，
分别为：1，1，2，3，1，0，1，2，3，1，0，1，…，
从上面可以看出：{b_n}从第二项开始是周期为5的数列，
∴b₂₀₁₅=b_1+402×5+4=b₅=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了斐波那契数列的通项公式及其性质、整除的性质，考查了推理能力、猜想归纳与计算能力，属于中档题．