Question

19．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC
（Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；
（Ⅱ）若∠CAD=$\frac{π}{3}$，AB=1，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知AC=AD，AH⊥CD可得△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．再由AB=AD，得∠ADP=∠ABP，进一步得到∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；
（Ⅱ）由AC=AD，$∠CAD=\frac{π}{3}$，得△ACD是边长为1的等边三角形，结合AH⊥CD，得$∠CAH=\frac{π}{6}$．再结合A，B，C，P四点共圆，$∠BCP=\frac{π}{2}$，得$∠BAP=\frac{π}{2}$，即△ABC也是边长为1的等边三角形，进一步得到P为△ACD的中心．可得S_ABCP=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1+（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}）×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 证明：（Ⅰ）∵AC=AD，AH⊥CD，∴∠CAD=∠DAP，
从而△ACP≌△ADP，得∠ACP=∠ADP．
又AB=AD，故∠ADP=∠ABP，
从而∠ABP=∠ACP，可知A，B，C，P四点共圆；
（Ⅱ）由AC=AD，$∠CAD=\frac{π}{3}$，从而△ACD是边长为1的等边三角形，
又AH⊥CD，故$∠CAH=\frac{π}{6}$．
由（Ⅰ）知A，B，C，P四点共圆，又$∠BCP=\frac{π}{2}$，故$∠BAP=\frac{π}{2}$，
从而$∠BAC=∠BAP-∠CAH=\frac{π}{2}-\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，故△ABC也是边长为1的等边三角形，
由PC⊥BC，$∠ACB=\frac{π}{3}$，得$∠ACP=∠BCP-∠ACB=\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$，
知CP，AH为等边三角形的角平分线，从而P为△ACD的中心．
故此时S_ABCP=S_△ABC+S_△ACP=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×1+（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}）×\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查圆内接多边形的性质及其应用，考查了四点共圆的条件，是中档题．