Question

1．已知将函数f（x）=sin²x-2sinxcosx+3cos²x（x∈R）的图象沿x轴向左平移m个单位（m＞0）所得函数的图象关于直线x=$\frac{17}{8}$π对称．
①求m的最小值；
②已知点P（α，$\frac{8}{3}$）是函数y=f（x）的图象上的一点，求sin4α的值．

Answer 1

分析 ①利用倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质即可得出．
②把点P（α，$\frac{8}{3}$）代入f（x），化简整理利用倍角公式即可得出．

解答 解：①$f（x）=cos2x-sin2x+2=\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+2$，
将f（x）的图象向左平移m个单位得函数$y（x）=\sqrt{2}cos（2x+2m+\frac{π}{4}）+2$，
其对称轴为$x=\frac{17}{8}π$，
∴$2×\frac{17}{8}π+2m+\frac{π}{4}=kπ（k∈Z），又m＞0$，
∴${m_{min}}=\frac{π}{4}$．
②∵$f（α）=\sqrt{2}cos（2α+\frac{π}{4}）+2=\frac{8}{3}$，
∴$cos（2α+\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
令$t=2α+\frac{π}{4}$，则$cost=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，$2α=t-\frac{π}{4}$，$4α=2t-\frac{π}{2}$，
∴$sin4α=sin（2t-\frac{π}{2}）=-cos2t=1-2{cos^2}t=1-2×\frac{2}{9}=\frac{5}{9}$．

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质、平移变换，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．