Question

已知函数f （x）=a-

2

2x+1

是R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求该函数的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用奇函数的性质可得：f（0）=0，即可解出a．
（2）令0＜x₁＜x₂，利用增函数的定义只要证明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（3）由于2^x＞0，可得0＜

2

2x+1

＜2，可得-1＜1-

2

2x+1

＜1即可得出．

解答： 解：（1）∵函数f （x）=a-

2

2x+1

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，∴a-

2

1+1

=0，解得a=1．
（2）由（1）可得：f（x）=1-

2

2x+1

．
设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）∵2^x＞0，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
∴函数f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查了函数奇偶性单调性、值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．