Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，DA⊥平面SAB，BC⊥平面SAB，AB=BC=SA=2AD=2，∠BAS=120°．
（1）求证：平面SCD⊥平面SBC；
（2）求平面SAD与平面SBC所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证明平面SCD⊥平面SBC，根据面面垂直的判定定理，只要在平面SCD内找一直线垂直于平面SBC即可．取SC中点E，SB中点F，连接DE，EF，FA，则通过图形容易看到DE就是所找直线，容易说明AF⊥SB，AF⊥BC，所以DE⊥SB，DE⊥BC，SB∩BC=B，所以DE⊥平面SBC，DE?平面SCD，所以平面SCD⊥平面SBC；
（2）由（1）知AF⊥平面SBC，过F作FG⊥SA，垂足为G，因为DA⊥平面SAB，所以DA⊥FG，即FG⊥DA，所以FG⊥平面SAD，所以AF与FG的夹角等于平面SAD与平面SBC所成锐角二面角，所以在Rt△AFG中，求出边AF，FG的长度，便可求出cos∠AFG．

解答： 解：（1）如图，取SC中点E，SB中点F，连接DE，EF，FA，则：
EF∥BC，且EF=

1

2

BC，∵DA⊥平面SAB，BC⊥平面SAB，∴DA∥BC，∴EF∥DA，EF=DA；
∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF；
∵AB=SA，F是SB中点，∴AF⊥SB；
又BC⊥平面SAB，AF?平面SAB，∴BC⊥AF，即AF⊥BC；
即AF⊥SB，AF⊥BC，∴DE⊥SB，DE⊥BC，SB∩BC=B；
∴DE⊥平面SBC，DE?平面SCD；
∴平面SCD⊥平面SBC；
（2）由（1）知AF⊥平面SBC，过F作FG⊥SA，交SA于G；
∵DA⊥平面SAB，FG?平面SAB；
∴DA⊥FG，即FG⊥DA，SA∩DA=A；
∴FG⊥平面SAD，∴∠AFG等于平面SAD与平面SBC所成锐角二面角；
在Rt△SAF中，SA=2，∠BAS=120°，∴∠ASB=30°，∴AF=1；
∴在Rt△SFG中，FG=

1

2

SF=

3

2

；
∴cos∠AFG=

FG

AF

=

3 2

1

=

3

2

；
∴平面SAD与平面SBC所成锐角二面角的余弦值为

3

2

．

点评：考查线面垂直的性质，中卫线的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，以及二面角的概念．