Question

15．设定义在（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log₂x]=6．方程f（x）-f'（x）=4在下列哪个区间内有解（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 由题意可得f（x）-log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log2x-1xln2有零点，结合F（1）＜0，F（2）＞0，由零点存在性定理得答案．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-log₂x为定值，
设t=f（x）-log₂x，则f（x）=t+log₂x
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=$\frac{1}{xln2}$，
设x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一个解，
∴x₀是函数F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-$\frac{1}{xln2}$的零点，
∵F（1）=-$\frac{1}{in2}$＜0，F（2）=1-$\frac{1}{2ln2}$=1-$\frac{1}{ln4}$＞0，
∴函数F（x）的零点介于（1，2）之间，
故选：B．

点评 本题考查函数零点判定定理，考查了数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．