题目内容

11.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+alnx,其中常数a>0.
(Ⅰ)当a>2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)设定义在D上的函数y=h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y=g(x),若$\frac{h(x)-g(x)}{{x-{x_0}}}$>0在D内恒成立,则称P为函数y=h(x)的“类对称点”.当a=4时,试问y=f(x)是否存在“类对称点”,若存在,请至少求出一个“类对称点”的横坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (Ⅰ)求出函数的导数,结合a的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)法一:a=4时,求出f(x)的导数,得到切线方程根据新定义问题等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),结合函数的单调性求出即可;
法二:猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为${x_0}=\sqrt{2}$,然后加以证明即可.

解答 解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
∵$f(x)=x_{\;}^2-(a+2)x+alnx$,
∴$f'(x)=2x-(a+2)+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-(a+2)x+a}}{x}=\frac{{2(x-\frac{a}{2})(x-1)}}{x}$…(1分)
∵a>2,∴$\frac{a}{2}>1$,
令f′(x)>0,即$\frac{{2(x-\frac{a}{2})(x-1)}}{x}>0$,
∵x>0,∴0<x<1或$x>\frac{a}{2}$,…(2分)
所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1),$({\frac{a}{2},+∞})$…(3分)
(Ⅱ)解法一:当a=4时,$f'(x)=\frac{{2{x^2}-6x+4}}{x}$
所以在点P处的切线方程为$g(x)=\frac{{2x_0^2-6{x_0}+4}}{x_0}({x-{x_0}})+x_0^2-6{x_0}+4ln{x_0}$…(4分)
若函数$f(x)=x_{\;}^2-6x+4lnx$存在“类对称点”P(x0,f(x0)),
则等价于当0<x<x0时,f(x)<g(x),
当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立.…(5分)
①当0<x<x0时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于$x_{\;}^2-6x+4lnx<\frac{{2x_0^2-6{x_0}+4}}{x_0}({x-{x_0}})+x_0^2-6{x_0}+4ln{x_0}$恒成立,
即当0<x<x0时,${x_0}x_{\;}^2-({2x_0^2+4})x+4{x_0}lnx+x_0^3+4{x_0}-4{x_0}ln{x_0}<0$恒成立,
令$φ(x)={x_0}x_{\;}^2-({2x_0^2+4})x+4{x_0}lnx+x_0^3+4{x_0}-4{x_0}ln{x_0}$,则φ(x0)=0,…(7分)
要使φ(x0)<0在0<x<x0恒成立,只要φ(x)在(0,x0)单调递增即可.
又∵$φ'(x)=2{x_0}x_{\;}^2-({2x_0^2+4})+\frac{{4{x_0}}}{x}=\frac{{2({{x_0}x-2})({x-{x_0}})}}{x}$,…(8分)
∴${x_0}≤\frac{2}{x_0}$,即$0<{x_0}≤\sqrt{2}$.…(9分)
②当x>x0时,f(x)>g(x)恒成立时,${x_0}≥\sqrt{2}$.…(10分)
∴${x_0}=\sqrt{2}$.…(11分)
所以y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为$\sqrt{2}$.…(12分)

(Ⅱ)解法二:
猜想y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为${x_0}=\sqrt{2}$.…(4分)下面加以证明:
当${x_0}=\sqrt{2}$时,$g(x)=({4\sqrt{2}-6})x-6+2ln2$…(5分)
①当$0<x<\sqrt{2}$时,f(x)<g(x)恒成立,
等价于$x_{\;}^2-6x+4lnx<({4\sqrt{2}-6})x-6+2ln2$恒成立,
令$φ(x)=x_{\;}^2-4\sqrt{2}x+4lnx+6-2ln2$…(7分)
∵$φ'(x)=2x-4\sqrt{2}+\frac{4}{x}>0$,∴函数φ(x)在$({0,\sqrt{2}})$上单调递增,
从而当$0<x<\sqrt{2}$时,$φ(x)<φ(\sqrt{2})=0$恒成立,
即当$0<x<\sqrt{2}$时,f(x)<g(x)恒成立.…(9分)
②同理当$x>\sqrt{2}$时,f(x)>g(x)恒成立.…(10分)
综上知y=f(x)存在“类对称点”,其中一个“类对称点”的横坐标为${x_0}=\sqrt{2}$.…(12分)

点评 本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查新定义的理解,是一道综合题.

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