Question

6．（理科）已知函数f（x）=e^ax•（$\frac{a}{x}$+a+1），其中a≥-1．
（Ⅰ）求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若存在x₁＞0，x₂＜0，使得f（x₁）＜f（x₂），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及取特殊值方法求出a的具体范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=a{e^{ax}}\frac{（x+1）[（a+1）x-1]}{x^2}$
①当a=-1时，令f′（x）=0，解得 x=-1，
f（x）的单调递减区间为（-∞，-1）；单调递增区间为（-1，0），（0，+∞）；
当a≠-1时，令f′（x）=0，解得 x=-1，或$x=\frac{1}{a+1}$，
②当-1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），$（\frac{1}{a+1}，+∞）$
单调递增区间为（-1，0），$（0，\frac{1}{a+1}）$；
③当a=0时，f（x）为常值函数，不存在单调区间；
④当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-1，0），$（0，\frac{1}{a+1}）$，
单调递增区间为（-∞，-1），$（\frac{1}{a+1}，+∞）$；
（Ⅱ）①当a＞0时，若x∈（0，+∞），
$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{a+1}）={e^{\frac{a}{a+1}}}{（a+1）^2}＞1$，
若x∈（-∞，0），$f{（x）_{max}}=f（-1）={e^{-a}}＜1$，不合题意；
②当a=0时，显然不合题意；
③当-1＜a＜0时，取${x_1}=-\frac{a}{2}$，则$f（{x_1}）={e^{-\frac{a^2}{2}}}（a-1）＜0$，
取x₂=-1，则$f（{x_2}）={e^{-a}}＞0$，符合题意；
④当a=-1时，取x₁=1，则$f（{x_1}）=-{e^{-1}}＜0$，
取x₂=-1，则$f（{x_2}）={e^{-a}}＞0$，符合题意；
综上，a的取值范围是[-1，0）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．