Question

3．已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9．求证：$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）²，
化简整理，结合条件即可得证．

解答 证明：由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得：
（a+2b+3c）（$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$）≥（$\sqrt{a•\frac{1}{4a}}$+$\sqrt{2b•\frac{1}{18b}}$+$\sqrt{3c•\frac{1}{108c}}$）²
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）²=1，
由a+2b+3c=9，可得$\frac{1}{4a}$+$\frac{1}{18b}$+$\frac{1}{108c}$≥$\frac{1}{9}$，
当且仅当a=3b=9c，即a=$\frac{9}{2}$，b=$\frac{3}{2}$，c=$\frac{1}{2}$时，等号成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．