Question

19．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为$\frac{2}{5}$，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们得分之和为X，求X≤3的概率；
（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红得分之和的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，得分之和的数学期望较大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的得分之和X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这两人的得分之和X≤3的概率．
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的分数和为X₁，由已知X₁的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X₁的分布列和期望；小明、小红都选择方案乙所获得分数和为X₂，由已知得X₂的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X₂的分布列和期望，从而得到他们都选择方案甲进行投资时，得分之和的数学期望较大．

解答 解：（Ⅰ）由已知小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两人中奖与否互不影响．
记“这2人的得分之和X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，
P（X=0）=$（1-\frac{2}{3}）（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}×（1-\frac{2}{5}）=\frac{2}{5}$，
P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{15}$，…3分
所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}+\frac{2}{15}$=$\frac{11}{15}$，
即这两人的得分之和X≤3的概率为$\frac{11}{15}$．…4分
（Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的分数和为X₁，由已知X₁的所有可能取值为0，2，4，
P（X₁=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X₁=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（X₁=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴X₁的分布列如下：

X1	0	2	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

…7分
$E（{X}_{1}）=0×\frac{1}{9}+2×\frac{4}{9}+4×\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$，…8分
小明、小红都选择方案乙所获得分数和为X₂，由已知得X₂的所有可能取值为0，3，6，
P（X₂=0）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{25}$，
P（X₂=3）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$，
P（X₂=6）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$，
∴X₂的分布列如下：

X2	0	3	6
P	$\frac{9}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{4}{25}$

E（X₂）=$0×\frac{9}{25}+3×\frac{12}{25}$+6×$\frac{4}{25}$=$\frac{12}{5}$．…12分
∵E（X₁）＞E（X₂），
∴他们都选择方案甲进行投资时，得分之和的数学期望较大．…13分．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率计算公式的合理运用．