Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=1，E，F分别是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由等腰三角形性质得AE⊥PB，由线面垂直得PA⊥BC，从而得到BC⊥平面PAB，所以AE⊥BC，从而得到AE⊥平面PBC，由此能证明AE⊥PC．
（Ⅱ）设点A到平面PBD的距离为d，利用等积法能求出点A到平面PBD的距离为

3

3

．

解答： （本小题12分）
（Ⅰ）证明：∵AP=AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵AB⊥BC且PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB，∵AE?平面PAB，
∴AE⊥BC，∵PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）解：设点A到平面PBD的距离为d，利用体积法，
VP-ABD=VA-PBD⇒

1

3

S△ABD•PA=

1

3

S△PBD•d⇒d=

3

3

，
∴点A到平面PBD的距离为

3

3

．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．