Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1．
（1）用a表示出b，c；
（2）证明：当a≥

1

2

时，f（x）≥1nx在[1，+∞）上恒成立；
（3）证明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用导数性质得

f′(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c

，由此能求出

b=a-1 c=1-2a

．
（2）令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，则g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，由此能证明当a≥

1

2

时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
（3）由已知条件推导出ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，令k=1，2，…，n，得n个不等式，将其累加，能证明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

解答： （1）解：∵f（x）=ax+

b

x

+c，
∴f′(x)=a-

b

x2

，
∵f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y=x-1，
∴

f′(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c

，
解得

b=a-1 c=1-2a

．
（2）证明：由（1）得f（x）=ax+

a-1

x

+1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），g（1）=0，
g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，
∵a≥

1

2

，∴

1-a

a

≤1，∴x＞1，g′（x）＞0，
g（x）是增函数，∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x）＞lnx，∴x≥1时，f（x）≥lnx，
∴当a≥

1

2

时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
（3）证明：由（2）知，当a≥

1

2

时，有f（x）≥lnx，x≥1，
令a=

1

2

，则f（x）=

1

2

(x-

1

x

)≥lnx，
当且仅当x=1时，“=”成立，即当x＞1时，总有

1

2

(x-

1

x

)＞lnx，
令x=

k+1

k

，则

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
即ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
令k=1，2，…，n，得n个不等式，
将其累加，得：
ln（n+1）＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

点评：本题考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意导数性质、累加求和等知识点的合理运用．