Question

如图，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A、B、C、D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE=FB=xcm．若要使包装盒的侧面积最大，则x的值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意，用x分别表示出包装盒的底面边长和高，将侧面积表示为关于x的二次函数，利用二次函数性质求解即可．

解答： 解：∵AE=FB=xcm，AB=60cm，
∴EF=（60-2x）cm，
又∵阴影部分为等腰直角三角形，
∴包装盒侧面高为

2

2

（60-2x）=（30

2

-

2

x）cm，
由勾股定理得，
包装盒底边长为

2

xcm．
则侧面积为S_侧=4（30

2

-

2

x）

2

x
=-8x²+240x
=-8（x-15）²+1800，
∴当x=15cm时，包装盒的侧面积最大，最大面积为1800cm²．
故答案为：15．

点评：本题考查实际模型中数据的提取和分析能力，以及函数性质的灵活应用，属于中档题．