Question

已知函数f（x）=e^x-x-1（e为自然对数的底数，e=2.71828…）
（1）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由；
（2）已知n∈N^*，且An+Bn=

∫

n 0

f(x)dx+n，A_n是等差数列{a_n}的前n项和，B_n是首项为e-1的等比数列{b_n}的前n项和，请求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）若{x|f（x）＞ax-1}∩{x|

1

2

≤x≤2}=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用,函数零点的判定定理

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，可得最小值，即可确定函数f（x）的零点个数；
（2）利用定积分，可得A_n+B_n=-

1

2

n2+eⁿ-1，由等差数列、等比数列的前n项和性质可得结论；
（3）x∈[

1

2

，2]时，f（x）＞ax-1等价于e^x-x＞ax，即a＜

ex-x

x

，求出右边的最大值，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-x-1，
∴f′（x）=e^x-1，
∴x＜0，f′（x）＜0，x＞0，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（0）=0，
∴x≠0时，f（x）＞0，故f（x）只有一个零点；
（2）∵An+Bn=

∫

n 0

f(x)dx+n，
∴A_n+B_n=-

1

2

n2+eⁿ-1，
由等差数列、等比数列的前n项和性质可知：A_n=-

1

2

n2，B_n=eⁿ-1，
∴a_n=-n+

1

2

，b_n=（e-1）e^n-1；
（3）x∈[

1

2

，2]时，f（x）＞ax-1等价于e^x-x＞ax，即a＜

ex-x

x

，
设g（x）=

ex-x

x

，则g′（x）=

ex(x-1)

x2

，
x＞1时，g′（x）＞0；x＜1时，g′（x）＜0，
∵g（

1

2

）=2

e

-1，g（2）=

e2

2

-1，
∴x∈[

1

2

，2]时，g（x）_max=g（2）=

e2

2

-1，
∴a＜

e2

2

-1，即a的取值范围为（-∞，

e2

2

-1）．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查导数知识，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．