Question

在数列{a_n}中，a₁=3，（a_n+1-2）（a_n-2）=2（n∈N^*），则该数列的前2014项的和是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出

an+1-2

an-1-2

=1，从而得到数列{a_n}是一个周期为2的周期数列，由此能求出S₂₀₁₄．

解答： 解：在数列{a_n}中，∵a₁=3，（a_n+1-2）（a_n-2）=2（n∈N^*），
∴（a_n-2）（a_n-1-2）=2，n∈N^*，n≥2，
以上两式相除，得

an+1-2

an-1-2

=1，
∴a_n+1-2=a_n-1-2，n∈N^*，n≥2，
∴数列{a_n}是一个周期为2的周期数列，
∵a2-2=

2

a1-2

，a₁=3，∴a₂=4，
∴S₂₀₁₄=1007×（a₁+a₂）=1007×（3+4）=7049．
故答案为：7049．

点评：本题考查数列的前2014项的和的求法，是中档题，解题时要关键是判断出数列{a_n}是一个周期为2的周期数列．