Question

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，AB=BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（1）求证：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面BDF；
（3）若AE：EP=1：2，求截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分的体积比．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由线面垂直得PC⊥BD，由等腰三角形性质得BD⊥AC，从而得到BD⊥平面PAC，进而得BD⊥PA．由此能证明AP⊥平面BDE．
（2）由线面垂直得BD⊥DE，由中位线定理得DF∥AP，由此能证明DE⊥平面BDF，从而得到平面BDE⊥平面BDF．
（3）设点E和点A到平面PBC的距离分别为h₁和h₂，则h₁：h₂=EP：AP=2：3，由此能求出截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分体积的比．

解答： （1）证明：∵PC⊥平面ABC，BD?平面ABC，
∴PC⊥BD，由AB=BC，D为AC的中点，得BD⊥AC，
又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC，
又PA∩平面PAC，∴BD⊥PA．
由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，
∴AP⊥平面BDE．…（4分）
（2）证明：由BD⊥平面PAC，DE?平面PAC，得BD⊥DE，
由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP，
由已知：DE⊥AP，∴DE⊥DF，
BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF，
又DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF．（8分）
（3）解：设点E和点A到平面PBC的距离分别为h₁和h₂，
则h₁：h₂=EP：AP=2：3，
∴

VP-EBF

VB-ACEF

=

VE-PBF

VB-ACEF

=

1 3 •h1•S△PBF

1 3 •h2•S△PBC- 1 3 •h1S△PBF

=

2

3×2-2

=

1

2

．
故截面BEF分三棱锥P-ABC所成上、下两部分体积的比为1：2．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．