Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（1）当a=-

1

3

时，求f（x）的最大值；
（2）a≤-2时，判断函数f（x）的单调性；
（3）若a≤-2，证明对任意x₁，x₂∈（0，+∞），均有|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-

1

3

时，求函数的导数，利用最值和导数之间的关系，即可求f（x）的最大值；
（2）a≤-2时，求函数的导数，利用导数即可判断函数f（x）的单调性；
（3）若a≤-2，根据函数f（x）的单调性，将不等式进行等价转化，即可证明不等式．

解答： 解：（1）f(x)=

2

3

lnx-

1

3

x2+1∴f′(x)=

2

3x

-

2x

3

=

-2(x+1)(x+1)

3x

当x∈（0，+∞）变化时，f（x），f'（x）变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f（x）	+	0	-
f'（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴当x=1时，f（x）取得极大值，也是最大值f(1)=

2

3

即f(x)max=

2

3

．
（2）f′(x)=

a+1

x

+2ax
∵x＞0，a+1＜0，2a＜0，
∴

a+1

x

+2ax＜0恒成立f（x）在（0，+∞）是减函数．
（3）∵f（x）在（0，+∞）单调减，∴不妨设x₁＞x₂＞0
则|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|?f（x₂）-f（x₁）≥4x₁-4x₂，
即f（x₂）+4x₂≥f（x₁）+4x₁
∴f（x）+4x在（0，+∞）单调减，
设g（x）=f（x）+4x=（a+1）lnx+ax²+4x+1（x＞0），
g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

，
∵a≤-2，
∴△=16-4×2a×（a+1）=-8（a²+a-2）=-8（a+2）（a-1）≤0，
∴g′(x)=

a+1

x

+2ax+4=

2ax2+4x+a+1

x

≤0恒成立．
∴g（x）为减函数，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|对?x∈（0，+∞）均成立．

点评：本题主要考查导数的应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．