题目内容
（1）求证：已知：a＞0，求证：
-
＞
-
（2）已知a，b，c均为实数且a=x2+2y+
，b=y2-2z+
，c=z2-2x+
，求证：a，b，c中至少有一个大于0．
| a+5 |
| a+3 |
| a+6 |
| a+4 |
（2）已知a，b，c均为实数且a=x2+2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
考点：反证法与放缩法,不等式的证明
专题：推理和证明
分析：（1）直接利用分析法证明方法证明
-
＞
-
，推出20＞18即可．
（2）利用反证法证明a，b，c中至少有一个大于0．写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可．
| a+5 |
| a+3 |
| a+6 |
| a+4 |
（2）利用反证法证明a，b，c中至少有一个大于0．写出命题的否定形式，然后推出与假设矛盾的结果即可．
解答：
证明：（1）（分析法）要证原不等式成立，
只需证
+
＞
+
?(
+
)2＞(
+
)2…（2分）
?（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）…（4分）
即证 20＞18，
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．…（6分）
（2）假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=(x2+2y+
)+(y2-2z+
)+(z2-2x+
)
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3＞0．
这与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0
只需证
| a+5 |
| a+4 |
| a+6 |
| a+3 |
?(
| a+5 |
| a+4 |
| a+6 |
| a+3 |
?（a+5）（a+4）＞（a+6）（a+3）…（4分）
即证 20＞18，
∵上式显然成立，
∴原不等式成立．…（6分）
（2）假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0，
而a+b+c=(x2+2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3＞0．
这与假设矛盾，所以a，b，c中至少有一个大于0
点评：本题考查分析法以及反证法证明等式与不等式的命题，考查基本方法分应用，注意命题的否定形式．
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