Question

已知f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（3）用定义证明函数f（x）在定义域内单调递减．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求函数f（x）的定义域，可令1-x＞0且1+x＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，要用定义法，由函数解析式研究f（-x）与f（x）的关系，即可证明出函数的性质；
（3）此函数是一个减函数，由定义法证明要先任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．

解答： 解：（1）由题意令1-x＞0且1+x＞0，
解得-1＜x＜1，所以函数的定义域是（-1，1）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下：
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
f（x）=ln（1-x）-ln（1+x）=ln

1-x

1+x

，
则f（-x）=ln

1+x

1-x

=-ln

1-x

1+x

=-f（x），故函数是奇函数；
（3）此函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=ln

1-x1

1+x1

-ln

1-x2

1+x2

=ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

，
由于x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，
∴1-x₁＞1-x₂＞0，1+x₂＞1+x₁＞0，可得

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，
所以ln

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，
即有f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函数在定义域是减函数

点评：本题考查了求函数的定义域，对数的运算法则，判断函数的奇偶性，定义法证明函数单调性，正确解答本题，关键是熟练记忆函数的性质及这些性质判断的方法，其中判断函数的单调性是本题的难点，定义法判断函数的单调性，其步骤是；取，作差，判号，得出结论，其中判号这一步易疏漏，切记