Question

已知函数y=3sin（

1

2

x-

π

4

）．
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此函数是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的？
（3）求此函数的振幅，周期和初相；
（4）求此函数图象的对称轴方程，对称中心．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）用五点法求出对应的点的坐标，即可在坐标系中作出函数一个周期的图象；
（2）方法一：由图象的变换规则知此函数是由y=sinx的图象经过先右移四个单位再将再所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后再将每个点的纵坐标扩大为原来的三倍而等到的．
方法二：先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），；再把所得图象上所有的点向右平移

π

2

个单位，最后将y所得到的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．
（3）根据三角函数的定义和性质即可求此函数的振幅、周期和初相；
（4）结合三角函数的性质即可求出此函数图象的对称轴方程、对称中心．

解答： 解  （1）列表：

x	π 2	3π 2	5π 2	7π 2	9π 2
1 2 x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
3sin（ 1 2 x- π 4 ）	0	3	0	-3	0

描点、连线，如图所示：
（2）方法一：“先平移，后伸缩”．
先把y=sinx的图象上所有的点向右平移

π

4

个单位，得到y=sin（x-

π

4

）的图象；再把y=sin（x-

π

4

）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象；最后将y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．
方法二：“先伸缩，后平移”．
先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（

1

2

x）的图象；再把y=sin（x）图象上所有的点向右平移

π

2

个单位，得到y=sin

1

2

（x-

π

2

）=sin（

x

2

）的图象；最后将y=sin（

1

2

x-

π

4

）的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），就得到y=3sin（

1

2

x-

π

4

）的图象．
（3）周期T=

2π

ω

=

2π

1 2

=4π，振幅A=3，初相是-

π

4

．
（4）令

1

2

x-

π

4

=

π

2

+kπ（k∈Z），
得x=2kπ+

3

2

π（k∈Z），此为对称轴方程．
令

1

2

x-

π

4

=kπ（k∈Z）得x=

π

2

+2kπ（k∈Z）．
对称中心为（2kπ+

π

2

，0）（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点作图法，以及熟练掌握三角函数的有关概念和性质，属于中档题．