Question

20．设数列{a_n}的前n项和为${S_n}=2{n^2}-1$，数列{b_n}的前n项和为Q_n=2b_n-2．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和为${S_n}=2{n^2}-1$，可得n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．n=1时，a₁=S₁=1．可得a_n．数列{b_n}的前n项和为Q_n=2b_n-2．n≥2时，Q_n-1=2b_n-1-2，相减可得：b_n=2b_n-1．n=1时，b₁=Q₁=2b₁-2，解得b₁．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，n=1时，c₁=$\frac{1}{2}$，n≥2时，c_n=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为${S_n}=2{n^2}-1$，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-1-[2（n-1）²-1]=4n-2．
n=1时，a₁=S₁=1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{4n-2，n≥2}\end{array}\right.$．
数列{b_n}的前n项和为Q_n=2b_n-2．
n≥2时，Q_n-1=2b_n-1-2，可得b_n=2b_n-2b_n-1，化为：b_n=2b_n-1．
n=1时，b₁=Q₁=2b₁-2，解得b₁=2．
∴数列{b_n}是等比数列，首项与公比都为2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，
n=1时，c₁=$\frac{1}{2}$，n≥2时，c_n=$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
∴n=1时，T₁=c₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2时，T_n=$\frac{1}{2}+$$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$．
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{7}{4}$+2×$（\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$=$\frac{7}{4}$$+2×\frac{\frac{1}{4}[1-（\frac{1}{2}）^{n-2}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{11}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．