Question

已知f（x）=x（

1

2x-1

+k）．
（1）当k=

1

2

时，判断函数f（x）的奇偶性；
（2）在（1）的条件下，证明f（x）＞0；
（3）若对任意x∈[1，2]时，不等式f（x）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可，
（2）根据指数函数的性质当x＞0，可知2^x-1＞0，故得到f（x）＞0，再根据函数为偶函数，继而得到f（x）＞0恒成立；
（3）分离参数，得到k＞

1

1-2x

在[1，2]恒成立，构造函数g（x）=

1

1-2x

，根据导数求出函数的最大值，问题得以解决．

解答： 解：（1）当k=

1

2

时，f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）=x

2x+1

2(2x-1)

，
∵f（-x）=-x

2-x+1

2(2-x-1)

=x

2x+1

2(2x-1)

=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
（2）f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

），
当x＞0时，2^x-1＞0，
∴

1

2x-1

+

1

2

＞0，
∴f（x）=x（

1

2x-1

+

1

2

）＞0，
因为函数f（x）为偶函数，
故当x＜0，f（x）＞0，
综上所述f（x）＞0恒成立，
（3）令f（x）＞0，x∈[1，2]，则x（

1

2x-1

+k）＞0，
即k＞

1

1-2x

在[1，2]恒成立，
设g（x）=

1

1-2x

，
则g′（x）=

2xln2

(1-2x)2

＞0恒成立，
∴函数g（x）在[1，2]为增函数，
∴g（x）_max=g（2）=

1

1-22

=-

1

3

，
∴k＞-

1

3

故k的取值范围为（-

1

3

，+∞）

点评：本题考查了函数的奇偶性，以及指数函数的性质，以及导数和函数的最值的关系，培养了学生的转化能力，运算能力，属于中档题