Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B
（1）求k的取值范围；
（2）已知|PA|＜|PB|，求当k等于何值时，使得|PB|取得最大值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理后，根据判别式大于0求得k 的范围，
（2）由图象可知当直线经过圆心Q，与圆相交时，PB的长度最大，即可求出k的值．

解答： 解：（1）圆的方程可写成（x-6）²+y²=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
代入圆方程得x²+（kx+2）²-12x+32=0，
整理得（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k-3）²]-4×36（1+k²）=4²（-8k²-6k）＞0，
解得-

3

4

＜k＜0，即k的取值范围为（-

3

4

，0）．
（2）由图象可知当直线经过圆心Q，与圆相交时，PB的长度最大，
此时直线y=kx+2过Q（6，0），
则6k+2=0，解得k=-

1

3

．

点评：本题主要考查直线和圆的 位置关系的应用，利用数形结合是解决本题的关键．