Question

对于定义域为D的函数y=f（x）和常数C，若对任意正实数ξ，存在x∈D，使得0＜|f（x）-c|＜ξ恒成立，则称函数y=f（x）为“敛C函数”．现给出如下函数：
①f（x）=x（x∈Z）； ②f（x）=（

1

2

）^x+1（x∈Z）；③f（x）=log₂x； ④f（x）=

x-1

x

．
其中为“敛1函数”的有（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、②③④
• D、①②③

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由“敛C函数”的定义可知，当自变量x趋近于某个值或无穷大时，函数值y无限趋近于一个常数C，由此性质对四个函数逐一判断．

解答： 解：对于函数①，取ξ=

1

2

，因为x∈Z，找不到x，使得0＜|x-1|＜

1

2

成立，所以函数①不是“敛1函数”；
对于函数②，当x→+∞时，(

1

2

)x→0，所以（

1

2

）^x+1→1，所以对任意的正数ξ，总能找到一个足够大的正整数x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函数②是“敛1函数”；
对于函数③，当x→2时，log₂x→log₂2=1，所以对于无论多大或多小的正数ξ，总会找到一个x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故函数③是“敛1函数”；
对于函数④，函数式可化为y=1-

1

x

，所以当x→+∞时，

1

x

→0，即1-

1

x

→1，所以对于无论多小的正数ξ，总会找到一个足够大的正数x，使得0＜|f（x）-1|＜ξ成立，故故函数④是“敛1函数”．
故答案选C

点评：解决本题主要是对“敛C函数”的定义准确理解．对于一些图象容易画出的函数，也可以利用函数图象直观的判断，比如函数图象连续且与y=1有交点，或者是y=1是函数图象的渐近线等．