Question

设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{a_n}中a₁=d，当n≥2时，a_n=C

0 n-1

d+C

1 n-1

d²+…+C

n-2 n-1

d^n-1+C

n-1 n-1

dⁿ；数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

n²+

1

2

n．
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅲ）若d=1，求证：

b1

a2+b1

+

b2

a3+b2

+…+

bn

an+1+bn

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,二项式定理

分析：（Ⅰ）利用递推关系式直接求出数列的通项公式．
（Ⅱ）根据二项式定理，进一步求出数列是等比数列．
（Ⅲ）利用上步接结论，首先求出数列an=d(1+d)n-1，在进一步求出数列

bn

an+1+bn

=

n

2n

，
再利用乘公比错位相减法求数列的和，最后用放缩法求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）数列{b_n}的前n项和S_n=

1

2

n²+

1

2

n①．
则：Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)②
①-②得：bn=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

(n-1)2-

1

2

(n-1）
整理得：b_n=n
所以：数列{b_n}的通项公式为：b_n=n
证明：（Ⅱ）设d为实数，d≠0且d≠-1，数列{a_n}中a₁=d，
当n≥2时，a_n=C

0 n-1

d+C

1 n-1

d²+…+C

n-2 n-1

d^n-1+C

n-1 n-1

dⁿ；
则：数列{a_n}的通项公式为：an=d(1+d)n-1
当n=1时，a₁=d
所以：数列{a_n}是以d为首项，（d+1）为公比的等比数列．
an=d(1+d)n-1
证明：（Ⅲ）若d=1，
所以：

bn

an+1+bn

=

n

2n

则：

b1

a2+b1

+

b2

a3+b2

+…+

bn

an+1+bn

=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

则设 Sn=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

③
所以：

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

④\
③-④得：
Sn=2-2(

1

2

)n-

2

2n

＜2

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，二项式定理的应用，乘公比错位相减法的应用，放缩法的应用．属于基础题型．