Question

已知函数f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx-

1

4

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若a是第一象限的角，且f（

a

2

-

π

12

）=

3

4

，求tanα的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，利用三角函数的性质求得函数的最小正周期和值域．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中函数解析式，和已知等式可求得α的值，最后求得tanα．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

cos²x+

3

2

sinx•cosx-

1

4

=

1+cos2x

4

+

3 sin2x

4

-

1

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
∵-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴f（x）的值域为[-

1

2

，

1

2

]．
（Ⅱ）f（

α

2

-

π

12

）=

1

2

sin（α-

π

6

+

π

6

）=

1

2

sinα=

3

4

，
∴sinα=

3

2

，
∵α是第一象限的角，
∴α=

π

3

，
∴tanα=

3

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的运用，三角函数图象和性质．要对倍角公式、两角和与差的公式及逆用公式灵活运用．