题目内容
已知函数f（x）=
sinωxcosωx+cos2ωx，x∈R，ω＞0．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为
，则当x∈[0，
]时，求f（x）的单调递减区间．
| 3 |
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）的最小正周期为
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）首先，化简函数解析式，然后，根据正弦函数的性质进行确定该函数的值域即可；
（2）根据周期公式，确定ω=2，然后，求解函数的单调递减区间．
（2）根据周期公式，确定ω=2，然后，求解函数的单调递减区间．
解答：
解：（1）f（x）=
sin2ωx+cos2ωx=sin(2ωx+
)+
，
∵x∈R，∴f（x）的值域为[-1，1]，
（2）∵f（x）的最小正周期为
，
∴
=
，即ω=2
∴f(x)=2sin(4x+
)，
∵x∈[0，
]，
∴4x+
∈[
，
π]，
∵f（x）递减，
∴4x+
∈[
，
]，
由
≤4x+
≤
，
得到
≤x≤
，
∴f（x）单调递减区间为[
，
]．
| 3 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∵x∈R，∴f（x）的值域为[-1，1]，
（2）∵f（x）的最小正周期为
| π |
| 2 |
∴
| 2π |
| 2ω |
| π |
| 2 |
∴f(x)=2sin(4x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴4x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 13 |
| 6 |
∵f（x）递减，
∴4x+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
由
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
得到
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
∴f（x）单调递减区间为[
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换公式、二倍角公式等知识，属于综合性问题，中档题．
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