Question

已知实数m≠1，函数f（x）=

2x+m，x＜2 -x-2m，x≥2

，若f（3-m）=f（1+m），则m的值为

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用,函数的值,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：根据分段函数的解析式，可以确定3-m和1+m应该在两段函数上各一个，对3-m和1+m分类讨论，确定相应的解析式，列出方程，求解即可得到实数m的值．

解答： 解：∵f（x）=

2x+m，x＜2 -x-2m，x≥2

，
∴f（x）在x≤2和x＞2时，函数均为一次函数，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴3-m和1+m分别在x≤2和x＞2两段上各一个，
①当3-m≤2，且1+m＞2，即m＞1时，
∴f（3-m）=2（3-m）+m=6-m，f（1+m）=-（1+m）-2m=-1-3m，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴6-m=-1-3m，
∴m=-

5

4

（舍去）；
②当3-m＞2，且1+m≤2，即m＜1时，
∴f（3-m）=-（3-m）-2m=-3-m，f（1+m）=2（1+m）+m=2+3m，
∵f（3-m）=f（1+m），
∴-3-m=2+3m，
∴m=-

5

4

．
综合①②，可得实数m的值为-

5

4

．
故答案为：-

5

4

．

点评：本题考查了分段函数的解析式及其应用，考查了分段函数的取值问题，对于分段函数一般选用数形结合和分类讨论的数学思想进行解题．同时考查了函数的零点与方程根的关系．函数的零点等价于对应方程的根，等价于函数的图象与x轴交点的横坐标，解题时要注意根据题意合理的选择转化．属于中档题．