Question

已知抛物线y²=4x，点M（1，0）关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于A，B两点，
（1）证明：直线NA，NB的斜率互为相反数；
（2）求△ANB面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）如图所示，设直线l的方程为：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用斜率计算公式可得k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，只有证明k_NA+k_NB=0即可．
（2）利用S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

即可得出．

解答： （1）证明：如图所示，
设直线l的方程为：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

x=my+1 y2=4x

，化为y²-4my-4=0，△＞0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
k_NA=

y1

x1+1

，k_NB=

y2

x2+1

，
∴k_NA+k_NB=

y1

x1+1

+

y2

x2+1

=

y1(x2+1)+y2(x1+1)

(x1+1)(x2+1)

=

2my1y2+2(y1+y2)

(x1+1)(x2+1)

=

-8m+8m

(x1+1)(x2+1)

=0，
∴直线NA，NB的斜率互为相反数．
（2）解：S_△ANB=

1

2

|MN||y1-y2|=|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16m2+16

≥4，
当且仅当m=0时取等号．
∴当AB⊥x轴时，△ANB面积取得最小值4．

点评：本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式、三角形的面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．