Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的部分图象如图：
（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）将函数f（x）图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数m（x）的图象，g（x）=2bcos²x（b＞0且b∈R），G（x）=m（x）+g（x），当x∈[0，

π

4

]时，求函数G（x）的值域．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的增区间．
（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得m（x）=

3

sin2x，g（x）=bcos2x+b，G（x）=

3+b2

sin（2x+θ）+b，θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．再由x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函数的定义域和值域求得G（x）的值域．

解答： 解：（1）由函数的图象可得A=

3

，

T

2

=

π

ω

=

7π

12

-

π

12

，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×

π

12

+φ=

π

2

，求得φ=

π

3

，∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，故函数的增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）将函数f（x）图象向右平移

π

6

个单位长度得到函数m（x）=

3

sin[2（x-

π

6

）+

π

3

]=

3

sin2x的图象，
g（x）=2bcos²x=bcos2x+b，
G（x）=m（x）+g（x）=

3

sin2x+bcos2x+b=

3+b2

（

3

3+b2

sin2x+

b

3+b2

cos2x）+b=

3+b2

sin（2x+θ）+b，
θ∈（0，

π

2

），tanθ=

b

3

．
再由x∈[0，

π

4

]，可得2x+θ∈[θ，

π

2

+θ]，故当2x+θ=

π

2

时，G（x）取得最大值为

3+b2

+b，
当2x+θ=θ时，G（x）取得最大值为

3+b2

•

b

3+b2

+b=2b，
故函数G（x）的值域为[2b，

3+b2

+b]．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，辅助角公式，属于中档题．