Question

已知f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3（a＞0）
（1）求y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（2）求y=f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率和切点，运用点斜式求出切线方程；
（2）求出导数，并分解因式，对a讨论分a=1，a＞1，0＜a＜1，分别令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）f（x）=2ln（1+x）+ax²-2x+3的导数为
f′（x）=

2

x+1

+2ax-2，
f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为2-2=0，且f（0）=3，
则f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=3；
（2）由于f′（x）=

2

x+1

+2ax-2=

2x(ax+a-1)

x+1

（x＞-1），
若a=1，则f′（x）＞0，则f（x）的增区间为（-1，+∞）；
若0＜a＜1，则f′（x）＞0，解得，-1＜x＜0，或x＞

1-a

a

，
f′（x）＜0，解得，0＜x＜

1-a

a

．
由于

1-a

a

＞-1，若a＞1，则f′（x）＞0，解得，x＞0或-1＜x＜

1-a

a

，
f′（x）＜0，解得，

1-a

a

＜x＜0．
综上可得，a=1时，f（x）的增区间为（-1，+∞）；
0＜a＜1时，f（x）的增区间为（-1，0），（

1-a

a

，+∞），减区间为（0，

1-a

a

）；
a＞1时，f（x）的增区间为（0，+∞），（-1，

1-a

a

），减区间为（

1-a

a

，0）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．