Question

已知函数f（x）=1-

a

x+1

-ln（x+1）（a为实常数），若函数f（x）的区间（-1，1）内无极值．则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：求导f′（x）=

a

(x+1)2

-

1

x+1

=

a-(x+1)

(x+1)2

，从而可得x=a-1在（-1，1）上没有根，从而解得．

解答： 解：∵f（x）=1-

a

x+1

-ln（x+1），
∴f′（x）=

a

(x+1)2

-

1

x+1

=

a-(x+1)

(x+1)2

，
又∵函数f（x）的区间（-1，1）内无极值，
∴a-（x+1）=0在（-1，1）上没有根，
x=a-1在（-1，1）上没有根，
故a-1≤-1或a-1≥1；
故a≤0或a≥2；
故实数a的取值范围为a≤0或a≥2；
故答案为：a≤0或a≥2．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，属于基础题．