题目内容
美籍匈牙利数学家波利亚（GeorgePolya，1887-1985）曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”确实，类比是科学发展的灵魂，是数学发现的重要工具之一，例如，在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是A，B，C对边，由勾股定理可得c2=a2+b2．
（1）由平面内直角三角形的勾股定理，我们可类比猜想得出空间中四面体的一个性质：在四面体S-ABC中，三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，则 ．
（2）试证明你所猜想的结论是否正确．
（1）由平面内直角三角形的勾股定理，我们可类比猜想得出空间中四面体的一个性质：在四面体S-ABC中，三个侧面SAB、SBC、SAC两两相互垂直，则
（2）试证明你所猜想的结论是否正确．
考点：类比推理
专题：综合题,推理和证明
分析：由勾股定理是平面二维的线与线之间的关系，类比到三维空间可猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2，作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD，S△BCD2 =
CD2•BE2 =CD2•（AB2+AE2）=
（AC2+AD2）（AB2+AE2），再化简即得结论．
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
解答：
解：（1）线的关系类比到面的关系，猜测：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．
（2）理由如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．
S△BCD2 =
CD2•BE2 =CD2•（AB2+AE2）=
（AC2+AD2）（AB2+AE2）
=
（AC2AB2 +AD2AB2 +AC2AE2+AD2AE2 ）
=
（AC2AB2 +AD2AB2+CD2AE2 ）
=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2
故答案为：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．
（2）理由如下：
如图作AE⊥CD连BE，则BE⊥CD．S△BCD2 =
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
=
| 1 |
| 4 |
=
| 1 |
| 4 |
=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2
故答案为：S△BCD2=S△ABC2+S△ACD2+S△ADB2．
点评：本题考查类比推理，体现了数形结合的数学思想．其中由二维到三维的类比推理要注意点的性质往往推广为线的性质，线的性质往往推广为面的性质．
练习册系列答案
相关题目
如图，直观图所表示的平面图形是（ ）
| A、正三角形 | B、直角三角形 |
| C、锐角三角形 | D、钝角三角形 |
与椭圆
+
=1有公共焦点，且离心率e=
的双曲线的坐标方程为（ ）
| y2 |
| 49 |
| x2 |
| 24 |
| 5 |
| 4 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|