Question

已知函数f（x）=lnx-

a

x

+1．
（1）若a=-

e

时，求f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若f（x）＜x²+1在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）=lnx-

a

x

+1的定义域为（0，+∞），求导得f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

；从而由导数确定函数的单调性，从而求最值；
（2）化简f（x）＜x²+1为lnx-

a

x

＜x²；从而得到a＞xlnx-x³；令g（x）=xlnx-x³，g′（x）=1+lnx-3x²，从而由导数的正负确定函数的单调性，转化为最值问题．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx-

a

x

+1的定义域为（0，+∞），
且f′（x）=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

；
∵-e＜a＜-1，
令f′（x）=0得，x=-a；
当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，f（x）在（1，-a）上为减函数，
∴当-a＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，e）上为增函数；
f_min（x）=f（-a）=

5

2

；
（2）f（x）＜x²+1，
故lnx-

a

x

＜x²；
又∵x＞0，∴a＞xlnx-x³；
令g（x）=xlnx-x³，g′（x）=1+lnx-3x²，
g″（x）=

1-6x2

x

，
∵g′（x）=1+lnx-3x²在[1，+∞）上是减函数，
∴g′（x）＜g′（1）=-2；
即g′（x）＜0；
∴g（x）在[1，+∞）上也是减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1；
令a≥-1得a＞g（x），
∴当f（x）＜x²在（1，+∞）恒成立时，
a≥-1．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的处理方法，属于中档题．