题目内容
已知m、a、n成等差数列，m、b、c、n成等比数列，其中m，n∈R+，求证：2a≥b+c．
考点：等差数列的性质,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：设出等比数列的公比q，由等差数列和等比数列的性质把m，n，a，b，c都用q表示，结合基本不等式证明结论．
解答：
证明：∵m、a、n成等差数列，∴2a=m+n，
∵m、b、c、n成等比数列，∴mn=bc，
设等比数列的公比为q，则
=q，m+n=
+cq=
+bq2，
当q=1时，2a=m+n=b+c；
当q≠1时，
=
=
=
=
＞
=1．
∴2a＞b+c．
综上，2a≥b+c．
∵m、b、c、n成等比数列，∴mn=bc，
设等比数列的公比为q，则
| b |
| m |
| b |
| q |
| b |
| q |
当q=1时，2a=m+n=b+c；
当q≠1时，
| 2a |
| b+c |
| ||
| b+bq |
| ||
| 1+q |
| 1+q3 |
| q+q2 |
| 1-q+q2 |
| q |
| 2q-q |
| q |
∴2a＞b+c．
综上，2a≥b+c．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了数列不等式，是中档题．
练习册系列答案
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