Question

已知各项为正的等差数列{a_n}，a₁=1，前n项和为S_n，等比数列{b_n}，b₁=2，且b₂S₃=b₃S₂=24
（1）求{a_n}与{b_n}；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）各项为正的等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}公比为q，
∵b₂S₃=b₃S₂=24，
∴2q（3+3d）=2q²（2+d）=24，
解得q=2，d=1，或q=-6，d=-

2

3

舍去．
∴a_n=1+n-1=n，
b_n=2ⁿ．
（2）a_nb_n=n•2ⁿ．
∴T_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(2n-1)

2-1

-n×2ⁿ⁺¹=（1-n）×2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．