Question

数集A满足条件：若a∈A，则

1

1-a

∈A（a≠1）
（1）若2∈A，试求出A中其他所有元素
（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素
（3）从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（1）根据条件进行递推即可得到A中其他所有元素．
（2）不妨设x=3，求出A中其他所有元素
（3）根据（1）（2）的元素特点得到结论并证明．

解答： （1）若2∈A，则

1

1-2

=-1∈A，

1

1+1

=

1

2

∈A，

1

1- 1 2

=2∈A，
即A中其他所有元素为-1，

1

2

．
（2）若3∈A，则

1

1-3

=-

1

2

∈A，

1

1+ 1 2

=

2

3

∈A，

1

1- 2 3

=3∈A，
即A中其他所有元素-

1

2

，

2

3

．
（3）A中只有三个元素a，

1

1-a

，

a-1

a

，且三个数的成绩为-1．
证明：a∈A，则

1

1-a

∈A（a≠1且

1

1-a

≠1）
则

1

1- 1 1-a

=

a-1

a

∈A，且

a-1

a

≠1，
进而

1

1- a-1 a

=a∈A，
∵a≠

1

1-a

（若a=

1

1-a

，即a²-a+1=0，此时方程无解）
∴

1

1-a

≠

a-1

a

，
∴A中只有3个元素a，

1

1-a

，

a-1

a

，且三个数的成绩为-1．

点评：本题主要考查元素和集合的关系，利用条件进行推理并总结规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．