Question

已知关于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m对于任意的x∈[-1，2]恒成立
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求函数f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）根据不等式对于任意的x∈[-1，2]恒成立，即可求m的取值范围；
（Ⅱ）将分式不等式转化为基本不等式性质，利用基本不等式的性质即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵关于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m对于任意的x∈[-1，2]恒成立?m＞(

2-x

+

x+1

)max，
根据柯西不等式，有(

2-x

+

x+1

)2=(1•

2-x

+1•

x+1

)2≤[12+12]•[(

2-x

)2+(

x+1

)2]=6
∴

2-x

+

x+1

≤

6

，当且仅当x=

1

2

时等号成立，故m＞

6

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得m-2＞0，则f(m)=m+

1

(m-2)2

=

1

2

(m-2)+

1

2

(m-2)+

1

(m-2)2

+2
∴f(m)≥3

3	1 2 (m-2)• 1 2 (m-2)• 1 (m-2)2

+2=

3

2

3	2

+2，
当且仅当

1

2

(m-2)=

1

(m-2)2

，即m=

3	2

+2＞

6

时取等号，
∴函数f(m)=m+

1

(m-2)2

的最小值为

3

2

3	2

+2．

点评：本题主要考查不等式的应用，要求熟练掌握基本不等式成立的条件和性质，考查学生的计算能力．