Question

已知：函数f（x）=log_a（3-ax）（a＞0且a≠1）
（1）若x∈[0，2]时，f（x）有意义，求实数a的取值范围．
（2）是否存在实数a，使f（x）在区间[1，2]上单调递减，且最大值为1？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设u（x）=3-ax，则由题意可得 u（x）是减函数，3-2a＞0，结合a＞0且a≠1，求得a的范围．
（2）假设存在实数a，满足题设条件，由f（x）在区间[1，2]上单调递减函数，且u（x）=3-ax是减函数，求得1＜a＜

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．由已知f（1）=1求得a=

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，根据

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∉（1，

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），可得这样的实数a不存在．

解答： 解：（1）设u（x）=3-ax，∵a＞0且a≠1，∴u（x）是减函数．
又x∈[0，2]时，f（x）有意义，∴3-2a＞0，故有 0＜a＜

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，且a≠1．
∴a的范围是（0，1）∪（1，

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）．
（2）假设存在实数a，满足题设条件，∵f（x）在区间[1，2]上单调递减函数，
再根据u（x）=3-ax是减函数，可得a＞1，3-2a＞0，∴1＜a＜

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．
由已知f（1）=1，即log_a（3-a）=1，∴a=

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，∵

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∉（1，

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2

），
∴这样的实数a不存在．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，函数的单调性的应用，属于中档题．