Question

有两个质地均匀的骰子：其中一个是正四面体，各面分别标有数字1、2、3、4；另一个是正方体，各面分别标有数字1、2、3、4、5、6．
现有以下两种游戏方案可供选择：
方案一：连续抛掷正方体骰子三次，每次出现奇数得2张积分卡，出现偶数不得积分卡，
方案二：顺次完成以下三步．
第一步：抛掷正方体骰子一次，出现不大于4的数字得2张积分卡，出现大于4的数字不得积分卡；
第二步：抛掷正四面体骰子一次，出现不大于3的数字得1张积分卡，出现大于3的数字不得积分卡；
第三步：抛掷正方体骰子一次，出现小于5的数字得2张积分卡，出现不小于5的数字不得积分卡．
（Ⅰ）求采用方案一所得到的总积分卡数X的分布列和数学期望；
（Ⅱ）为了得到更多的积分卡，你该选择上述哪种方案？请说明理由．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题设知，X的所有可能取值为0，2，4，6，分别求出P（X=0），P（X=2），P（X=4），P（X=6），由此能求出X的分布列和数学期望．
（Ⅱ）设方案二所得到的积分卡总数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别求了P（Y=0），P（Y=1），P（Y=2），P（Y=3），P（Y=4），P（Y=5），由此能求出EY，比较EX和EY的大小，能求出为了得到更多的积分卡，应该选择哪种方案．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知，X的所有可能取值为0，2，4，6，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

2

)0(1-

1

2

)3=

1

8

，
P（X=2）=

C

1 3

(

1

2

)(1-

1

2

)2=

3

8

，
P（X=4）=

C

2 3

（

1

2

）²（

1

2

）=

3

8

，
P（X=6）=

C

3 3

(

1

2

)3=

1

8

，
∴X的分布列为：

X	0	2	4	6
P	1 8	3 8	3 8	1 8

EX=0×

1

8

+2×

3

8

+4×

3

8

+6×

1

8

=3．
（Ⅱ）为了得到更多的积分卡，应该选择方案二，理由如下：
设方案二所得到的积分卡总数为Y，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
P（Y=0）=

2

6

×

1

4

×

2

6

=

1

36

，
P（Y=1）=

2

6

×

3

4

×

2

6

=

3

36

，
P（Y=2）=

4

6

×

1

4

×

2

6

+

2

6

×

1

4

×

4

6

=

4

36

，
P（Y=3）=

4

6

×

3

4

×

2

6

+

2

6

×

3

4

×

4

6

=

12

36

，
P（Y=4）=

4

6

×

1

4

×

4

6

=

4

36

，
P（Y=5）=

4

6

×

3

4

×

4

6

=

12

36

，
∴EY=0×

1

36

+1×

3

36

+2×

4

36

+3×

12

36

+4×

4

36

+5×

12

36

=

41

12

，
∵EX＜EY，
∴为了得到更多的积分卡，应该选择方案二．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意概率知识的合理运用，是中档题．