Question

已知A={a₁，a₂，a₃，a₄，a₅}，B={a₁²，a₂²，a₃²，a₄²，a₅²}，其中a₁，a₂，a₃，a₄，a₅∈Z，设a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，且A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，又A∪B元素之和为224．求：
（1）a₁，a₄；      （2）a₅；       （3）A．

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件知a₁，a₄两个整数的和为10，由此能求出a₁，a₄．
（2）由已知条件得a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142，由此利用题设条件，用排除法能求出a₅．
（3）由（2）知a₂+a₃+a₂²+a₃²=32，由此利用排除法能求出集合A．

解答： 解：（1）∵A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={

a

2 1

，

a

2 2

，

a

2 3

，

a

2 4

，

a

2 5

}，
且A∩B={a₁，a₄}，a₁+a₄=10，即两个完全平方数的和为10，∴a₁=1，a₄=9．…4分
（2）∵A∪B的元素之和为224，
即a₂+a₃+a₅+a₁²+a₂²+a₃²+a₄²+a₅²=224，
而a₁²+a₄²=82∴a₂+a₃+a₅+a₂²+a₃²+a₅²=142，…8分
∵a₄=9＜a₅，若a₅=11，则a₂+a₃+a₂²+a₃²=10这不可能，
∴a₅=10．…12分
（3）由（2）知a₂+a₃+a₂²+a₃²=32
若a₃²=a₄=9，得a₂+a₂²=20，
∴a₂=4＞a₃ （矛盾）
从而a₂=3，a₃=4
∴A={1，3，4，9，10}．…15分

点评：本题考查集合的并集及其应用，是中档题，解题时要注意排除法和函数思想的合理运用．