Question

已知函数f（x）=alnx+bx²在点（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0
（Ⅰ）（ⅰ）求f（x）的表达式；
（ⅱ）对于函数y=e^x，曲线y=e^x在与坐标轴交点处的切线方程为y=x+1，由于曲线y=e^x在切线y=x+1的上方，故有不等式e^x≥x+1．类比上述推理，对于函数f（x），直接写出一个相类似的结论（不需证明）．
（ II）若f（x）满足f（x）≥g（x）恒成立，则称f（x）是g（x）的一个“上界函数”，如果函数f（x）为g（x）=

t

x

-lnx（t∈R）的一个“上界函数”，求t的取值范围；
（Ⅲ）当m＞0时，讨论F（x）=f（x）+

x2

2

-

m2+1

m

x在区间（0，2）上极值点的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）（ⅰ）利用导数的几何意义，求得函数的切线方程，比较系数即可得出a、b的值，写出函数解析式；
（ⅱ）由题意类比即可写出结论；
（Ⅱ）根据上界函数的定义，可得f（x）≥g（x）恒成立即2lnx-

t

x

≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立，利用导数求得函数h（x）=2xlnx的最小值，即可得出结论；
（Ⅲ）由极值的定义，对m分类讨论，利用导数即可研究函数的极值．

解答： 解：（ I）（ⅰ）因为f′(x)=

a

x

+2bx，且切点为（1，b），所以切线方程为y=（a+2b）（x-1）+b，
因为切线为y=x-1，所以a=1，b=0，∴f（x）=lnx…（3分）
（ⅱ）对于函数f（x）=lnx，有不等式lnx≤x-1成立．…（6分）
（ II）因为f（x）≥g（x）恒成立即2lnx-

t

x

≥0恒成立，所以 t≤2xlnx恒成立
令h（x）=2xlnx，∴h′（x）=2lnx+2函数递减区间为(0，

1

e

)，递增区间为(

1

e

，+∞)
所以h(x)min=h(

1

e

)=-

2

e

，故t≤-

2

e

…（10分）
（Ⅲ）F′(x)=

1

x

+x-

m2+1

m

=

mx2-(m2+1)x+m

mx

=

(mx-1)(x-m)

mx

当

1

2

＜m＜1或1＜m＜2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点和一个极小值点…（12分）
当0＜m≤

1

2

或m≥2时，F（x）在（0，2）上有一个极大值点，无极小值点…（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义及利用导数研究函数的极值、最值等知识，考查学生的分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，考查分类讨论思想及等价转化思想的运用能力，属于难题．