Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，其前n和为S_n，且满足S_n+1+S_n=3（n+1）²（n∈N^*）．
（1）用a表示a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）对任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接在数列递推式中取n=1，即可得到a₂=12-2a₁，代入首项后得答案；
（2）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到从第二项开始，数列的偶数项和奇数项均构成公差为6的等差数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（3）由a₂＞a₁求得a的范围，再由a_n+1＞a_n分n为偶数和奇数求得a的范围，取交集后得答案．

解答： 解析：（1）由S_n+1+S_n=3（n+1）²，取n=1，得a₁+a₂+a₁=12，
∴a₂=12-2a₁，
又a₁=a，
∴a₂=12-2a；
（2）由条件S_n+1+S_n=3（n+1）²，得Sn+Sn-1=3n2(n≥2)，
两式相减得a_n+1+a_n=6n+3（n≥2），
故a_n+2+a_n+1=6n+9，
两式再相减得a_n+2-a_n=6（n≥2），
∴a₂，a₄，a₆，…构成以a₂为首项，公差为6的等差数列；
a₃，a₅，a₇，…构成以a₃为首项，公差为6的等差数列．
由（1）得a_2n=6n+6-2a；
由条件S_n+1+S_n=3（n+1）²，取n=2得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=27，得a₃=3+2a，
从而a_2n+1=6n-3+2a，
∴an=

a，n=1 3n+(6-2a)(-1)n，n≥2

；
（3）对任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，
当n=1时，由a₂＞a₁，有3×2+（6-2a）＞a，得a＜4  ①；
当n≥2时，由a_n+1＞a_n，有
3（n+1）+（6-2a）•（-1）^n-1＞3n+（6-2a）•（-1）^n-2，即
3+（6-2a）•（-1）^n-1＞（6-2a）•（-1）^n-2．
若n为偶数，则3-（6-2a）＞6-2a，得a＞

9

4

  ②；
若n为奇数，则3+（6-2a）＞-（6-2a），得a＜

15

4

  ③．
由①、②、③得

9

4

＜a＜

15

4

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是压轴题．