Question

已知函数f（x）=3^x的反函数经过点（18，a+2），设g（x）=3^ax-4^x的定义域为区间[-1，1]，
（1）求g（x）的解析式；
（2）若方程g（x）=m有解，求m的取值范围；
（3）对于任意的n∈R，试讨论方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的个数．

Answer 1

考点：反函数

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用函数与其反函数之间的关系可得a=log₃2，从而可求得g（x）的解析式；
（2）由g（x）=2^x-4^x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，x∈[-1，1]，可求得g（x）∈[-2，

1

4

]，方程g（x）=m有解，从而可得m的取值范围为[-2，

1

4

]；
（3）由h（x）=g（|x|）+2^|x|+1=2^|x|-4^|x|+2^|x|+1=3•2^|x|-4^|x|可知，h（x）为偶函数，令2^x=t，当x∈[0，1]时，1≤t≤2，则y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

（1≤t≤2），利用二次函数的单调性可求得t=

3

2

（即x=log₂3-1）时，y_max=

9

4

，t=1或t=2（即x=0或x=1）时，y_min=2，于是可得答案．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3^x的反函数经过点（18，a+2），
∴3^a+2=18，解得：a=log₃2；
∴g（x）=3^ax-4^x=3xlog32-4^x=2^x-4^x，x∈[-1，1]；
（2）∵g（x）=2^x-4^x=-(2x-

1

2

)2+

1

4

，
又x∈[-1，1]，
∴

1

2

≤2^x≤2，0≤2^x-

1

2

≤

3

2

，
∴0≤(2x-

1

2

)2≤

9

4

，
∴g（x）∈[-2，

1

4

]，
∵方程g（x）=m有解，∴m的取值范围为[-2，

1

4

]；
（3）由h（x）=g（|x|）+2^|x|+1=2^|x|-4^|x|+2^|x|+1=3•2^|x|-4^|x|可知，h（x）为偶函数，在[0，1]上，h（x）=3•2^x-4^x，
令2^x=t（1≤t≤2），则y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

（1≤t≤2），

显然，y=-t²+3t=-（t-

3

2

）²+

9

4

在区间[1，

3

2

]上单调递增，在区间[

3

2

，2]上单调递减，
∴t=

3

2

（x=log₂3-1）时，y_max=

9

4

；
又t=1（即x=0）时，y=2，当t=2（即x=1）时，y=2，
∴t=1或t=2（即x=0或x=1）时，y_min=2．
又n∈R，∴当n＞

9

4

或n＜2时，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的个数为0个；
当n=

9

4

时，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的个数为2个；
当n=2时，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的个数为3个；
当2＜n＜

9

4

时，方程g（|x|）+2^|x|+1=n的解的个数为4个；

点评：本题考查函数的性质及综合应用，着重考查函数与其反函数的应用，考查函数的单调性与最值，考查方程解的情况，属于难题．