Question

20．已知直线x-y+1=0经过椭圆S：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞o）$的一个焦点和一个顶点．如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
（Ⅰ）若直线PA平分线段MN，求k的值；
（Ⅱ）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

Answer 1

分析 （I）在直线x-y+1=0中，分别令x=0，y=0，可得c=b=1，a²=b²+c²，即可得出椭圆的标准方程．利用中点坐标公式可得线段MN的中点坐标，可得k．
（II）将直线PA方程y=kx代入椭圆方程，解得：x=±$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，令$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=m，P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），直线AB方程为y=$\frac{k}{2}$（x-m），代入椭圆方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，利用根与系数的关系可得：B．只要证明$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=0，即可证明．

解答 解：（I）在直线x-y+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=-1，由题意得c=b=1，
∴a²=2，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
M（-$\sqrt{2}$，0），N（0，-1），
线段MN的中点坐标为$（-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{1}{2}）$，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）将直线PA方程y=kx代入椭圆方程，
解得：x=±$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$，令$\frac{2}{\sqrt{1+2{k}^{2}}}$=m，
则P（m，mk），A（-m，-mk），于是C（m，0），
故直线AB方程为y=$\frac{0+mk}{m+m}$（x-m）=$\frac{k}{2}$（x-m），
代入椭圆方程得（k²+2）x²-2k²mx+k²m²-8=0，由x_B+x_A=$\frac{2{k}^{2}m}{{k}^{2}+2}$，
因此B$（\frac{3m{k}^{2}+2m}{{k}^{2}+2}，\frac{m{k}^{3}}{{k}^{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{AP}$=（2m，2mk），$\overrightarrow{PB}$=$（\frac{2m{k}^{2}}{{k}^{2}+2}，\frac{-2mk}{{k}^{2}+2}）$．
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PB}$=$\frac{4{m}^{2}{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$-$\frac{4{m}^{2}{k}^{2}}{{k}^{2}+2}$=0，
∴$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{PB}$，因此PA⊥PB．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、向量中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．