Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，点Q满足

AQ

=λ

QP

（λ＞0）．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求PB的最小值，并探究此时直线OQ与平面PBD所成的角是否一定大于

π

4

？

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（1）因为折叠之后，AO与OC仍然垂直于EF，而BD与AC平行，则BD也与AO、OC垂直，则可证BD与平面POA垂直；
（2）先根据题意建立空间直角坐标系，将几何问题转化为空间向量的计算问题，先给出相关的点（已知与所求）的坐标，求出向量PB的坐标，根据模长公式把PB表示成PO长度x的函数，从而把问题最终转化为函数的最值问题．

解答： （1）证明：∵菱形ABC的对角线互相垂直，∴BD⊥A，∴BD⊥A，
∵EF⊥A，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFE=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．
设AO∩BD=H，因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2

3

．又设PO=x，则OH=2

3

-x，OA=4

3

-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2

3

-x，2，0），故 

PB

=

OB

-

OP

=（2

3

-x，2，-x），
所以|

PB

|=

(2 3 -x)2+22+x2

=

2(x- 3 )2+10

当x=

3

时，|

PB

_min=

10

|．此时PO=

3

，OH=

3

，
设平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

PB

=0，

n

•

BD

=0．
∵

PB

=(

3

，2，-

3

)，

BD

=(0，-4，0)，∴

3 x+2y- 3 z=0 -4y=0

，
取x=1，解得：y=0，z=1，所以 

n

=(1，0，1)．
设点Q的坐标为（a，0，c），OP=

3

，则A（3

3

，0，0），B（

3

，2，0），D（

3

，-2，0），P（0，0，

3

）．
所以

AQ

=(a-3

3

，0，c)，

QP

=(-a，0， 

3

-c)，
∵

AQ

=λ

QP

，

∴

a-3 3 =-λa c= 3 λ-λc

⇒

a= 3 3 λ+1 c= 3 λ λ+1

．
∴Q（

3 3

λ+1

，0， 

3 λ

λ+1

），
∴

OQ

=（

3 3

λ+1

，0， 

3 λ

λ+1

），
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos＜

OQ

，

n

＞|=

| OQ • n |

| OQ |•| n |

=

| 3 3 λ+1 + 3 λ λ+1 |

2 ( 3 3 λ+1 )2+( 3 λ λ+1 )2

=

|3+λ|

2 9+λ2

=

1

2

9+6λ+λ2 9+λ2

=

1

2

1+ 6λ 9+λ2

，
又∵λ＞0∴sinθ＞

2

2

，∵θ∈[0， 

π

2

]，∴θ＞

π

4

．
因此直线OQ与平面PBD所成的角大于

π

4

，即结论成立．

点评：利用向量法求线面角的方法①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为两个方向向量间的夹角；②求出斜线的方向向量与平面的法向量，则这两个向量间所夹得的锐角或钝角的补角，取其余角即为所求．